Patrzysz na wiadomości wyszukane dla słów: Wzór na pole trójkąta w układzie współrzędnych
Wiadomość
  potrzebna pomoc

Jakiego rodzaju watpliwosci?


Mojemu koledze wyszlo podobnie- tylko na poczatku mial 1/2, ale przeliczalem
juz 2 razy i wychodzi mi tak jak podalem.

Jesli chodzi o pierwsze zadanie to zaczalem od rowaniania podanego w
zadaniu. Zapisalem kilka równan Pitagorasa oraz rowanania na pola powstalych
trojkatow. Po podstawianiu nie doszedlem do wyniku.
Ostatecznie otrzynalem ze h[1]^2 + h[2]^2 + h[3]^2 = (c^4+324 ) / (9c^2) a w
zadaniu musi wyjsc konkretna liczba.

W zadaniu 3 umiescilem kąt w ukladzie wspolrzednych i chcialem rozwiazac
problem analitycznie. Jednak jak zapisalem wzor na obwod (suma trzech
pierwiastkow)  i jak zaczalem liczyc pochodną to zrezygnowalem. Trzeciego
zadania nikt nie zrobil w klasie, nauczyciel ma tylko wynik bez rozwiazania
i sam raczej nie potrafi go rozwiazac.

Ps. Na prace domową te zadania wydają mi sie troche za trudne z uwagi, ze
nie jestem w klasie matematycznej. 10 osob zdaje z mojej klasy matme i
nauczyciel daje nam codziennie trudniejsze zadania i stawia za nie dodatkowe
punkty. Wiec jesli ktos potrafi mi pomoc to bede bardzi wdzieczny

 
  czy istnieje taki wzor?
witam

Zalozmy ze mamy uklad wspolrzednych i na nim wyznaczona figure plaska np.
trojkat. (lub inna figura)

Czy istnieje jakies rownanie ktore pozwoli wyznaczyc czy dany, losowo wybrany
punkt znajduje sie w obrebie pola tego trojkata czy tez lezy poza nim?

pozdrawiam
hh

  Wspolzedne srodka trojkata


ciezkosci krawedzi czy pola (to ostatnie nazywane dla figur plaskich w
skrocie srodkiem ciezkosci - dla bryl jest jeszcze inaczej). W ogolnosci
srodek to srednia ze wspolrzednych punktow - trzeba tylko doprecyzowac, o
ktore chodzi. Liczy sie to calka.
A w oryginalnym pytaniu chodzilo o "srodek". Nie wiem, czy cos takiego
istnieje w matematyce (bez dodatkowych okreslen).


Wszystko juz zrozumialem. Maciek podal po prostu w tym drugim zestawie
wspolrzedne punktow w ktorych umieszczono po prostu jakis ciezar
jednostkowy. Jak sie je polaczy to uzyskujemy trojkat, a nie szesciokat.
Zrozumiale wiec, ze srodek ciezkosci jest inny jak w przypadku trojkata. W
koncu dociazaja go dwa punkty o pewnym ciezarze.

Co do srodka figury. No, jest to rzeczywiscie dosyc niedookreslone pojecie.
Ja rozumialbym to jednak wlasnie jako srodek ciezkosci.

I jeszcze jedno. Ja podalem uogolniona wersje tego wzoru dla ukladu punktow:
przyjalem, ze kazdy punkt ma taki sam ciezar. A jesli ciezary sa rozne, to
mamy wtedy do czynienia ze srednia arytmetyczna wazona.

  geometria analityczna
0 Dane: srodek okregu O(o1=4, o2=3), punkt okregu P(p1=5, p2=6), prosta przecinajaca y1=-x+3
1. Rownanie okregu:
Wzor ogolny: (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 gdzie:
a,b wspolrzedne punktu O
r - trzeba wyliczyc z odleglosci OP=((p1-o1)^2 + (p2-o2)^2)^1/2 = ... = 10^1/2
stad wzor okregu: (x-4)^2+(y-3)^2=10
2. Wspolrzedne punktow wspolnych prostej przecinajacej i okregu:
Nalezy rozwiazac uklad rownan: rownanie okregu i rownanie prostej przecinajacej.
Wychodzi z tego ze prosta przecina okrag w 2 punktach: A(a1=1, a2=2) i B(b1=3, b2=0)
3. Dowod ze trojkat ABP jest prostokatny:
3.1 I metoda: Trojkat jest prostokatny jesli prosta przechodzaca przez AP i prosta przechodzaca przez AB sa wzgledem siebie prostopadle; bedzie tak kiedy ich wspolczynniki kierunkowe a1, a2 cechuje zaleznosc: a1=-1/a2
Nalezy wyznaczyc wzor prostej przechodzacej przez AP (a1=1, b1=1 stad y=x+1), prosta przechodzaca przez AB jest juz dana (a2= -1, b=3) i sprawdzic czy a1=-1/a2; Poniewaz tak jest 1=-1/-1 => 1=1 to dowodzi ze trojkat ABP jest prostokatny;
3.2 II metoda: Trojkat wpisany w okrag, ktorego jeden z bokow nalezy do srednicy okregu jest prostokatny
W tym przypadku nalezy wyznaczyc wzor prostej przechodzacej przez punkty BP; sprawdzic czy srodek okregu O, nalezy do tej prostej; Jesli tak tzn ze bok trojkata BP lezy na srednicy okregu czyli ze jest prostokatny
wzor prostej BP: a3=3, b3=-9, y=3x-9 Podstawiajac wspolrzedne O do wzoru prostej uzyskuje sie: 3=12-9 => 3=3 wiec punkt O nalezy do prostej ... wiec bok BP lezy na srednicy okregu ... wiec trojkat jest prostokatny
Pozdrawiam
3.3 Pole trojkata wiadomo ze wzoru ... 1/2 a h itd...
 
  równanie symetralnej
Podpunkt a to ja bym proponował z układu współrzędnych. Narysuj ten trójkąt w takim układzie i policz symetralne boków. Punkt przecięcia to środek okręgu opisanego.

Co do podpunktu b, to nie jestem pewien, ale może napisz wzór funkcji liniowej opisującej prostą na której leżą punkty B i C. Symetralna dzieli odcinek na pół pod kątem prostym, więc możesz skorzystać z prostopadłości odcinków. A żeby policzyć środek, to możesz potraktować odcinek BC jako wektor (chyba).
  30.05 praca klasowa
Praca klasowa z matematyki
Podaję zakres materiału:

PODRęCZNIK KLASA I:
- Trójkąty przystające (6.2)
- Trójkąty podobne (6.3) (wykorzystanie Talesa - 6.5)
- Wielokąty podobne (6.4)
- Długość okręgu i pole koła (6.13)
- Odległość punktów w układzie współrzędnych (6.14)
Trzeba tez umieć te pola figur płaskich, zależności w trójkątach i inne wzory.

PODRęCZNIK KLASA II:
- Okręgi i proste (6.1)
- Kąty w okręgu (6.2)
- Okrąg wpisany w trójkąt (z zależnościami) (6.3)
- Okrąg opisany na trójkącie (6.4)
- Czworokąty wypukłe (6.5)
- Okrąg wpisany w czworokąt i okrąg opisany na czworokącie (6.6)
- Symetria osiowa (6.7)
- Symetria środkowa (6.
- Przesunięcie o wektor (6.9)
- Obrót (6.10)

Fajnie, nie? miłej nauki...
  zadania funkcje
Zadanie1
Dana jest parabola o równaniu y=x(kwadrat)-10x+11
a)Oblicz odległość między punktami wspólnymi tej paraboli z osią x.
b) Oblicz odległość wierzchołka tej paraboli od środka układu współrzędnych

Zadanie2
Oblicz pole trójkąta którego wierzchołkami są punkty wspólne paraboli będącej wykresem f określonej wzorem f(x)=x(kwadrat)-8x+7 z osią x i wierzchołek paraboli.
  zadanka z kiełbasy
zadanko nie z kiełbasy ale na tym poziomie
Zad. 5.
Wyznacz równanie takiej prostej przechodzącej przez punkt A(-4, 6), która wraz z osiami układu współrzędnych ogranicza trójkąt o polu równym 2.

tu jest rozwiązanie z klucza, i moje pytanie jest takie po co jest tam we wzorze na pole wartość bezwzględna na a? I czy istnieje jakieś inne rozwiązanie do tego zadania?
  Zadanie z trójkątem :) Pomocy! Pilne!
Wyznacz równanie prostej BC, która jest prostopadła do prostej AD i przechodzi przez punkt B. ( pr.BC: y = x+1)
Następnie rozwiąż układ równań prostej AD i prostej BC. Rozwiązanie tego układu to współrzędne punktu D. ( D(1;2 ) )
Z równości wektorów BD i DC otrzymasz współrzędne punktu C. ( C(-1;0) )
Pole trójkąta ABC otrzymasz wykorzystując wzór:
P = 1/2 wartości bewzględnej wyznacznika wektorów np. AB i AC. ( P = 12 )

Powodzenia.
  "Matematyka z Sensem" - geometria oraz trygonometria
zad. 1
Dla jakiej wartości m wykres funkcji y = x + m ma co najmniej jeden punkt wspólny z okręgiem o promieniu r, którego środkiem jest początek układu współrzędnych ? (odp: m є (-r√2 ; r√2).

zad. 2
Dwa wierzchołki prostokąta leżą na osi x, a pozostałe dwa należą do paraboli o równaniu f(x) = 4-x² i znajdują się powyżej osi x.
a) podaj wzór funkcji opisującej pole tego prostokąta w zależności od jego podstawy, (odp: P(a) = 4a-ÂźaÂł)
b) Dla jakiej długości podstawy pole tego prostokąta jest równe 6, (odp: a= -1 + √13, b= (√13+1)/2) v a = 2, b = 3), √13 - "pierwiastek z trzynastu".
c) Dla jakiej długości podstawy pole tego prostokąta jest największe ? (odp: a = (4√3)/3)).

zad. 3
Oblicz objętość stożka wpisanego w kulę o promieniu R, wiedząc, że kąt rozwarcia stożka ma miarę 2Îą), 2Îą - "dwa alfa" (odp: V = ((2ΠRÂł)/3)sin²2Îącos²ι.) "dwa pi er do trzeciej przez trzy, razy sinus kwadrat dwóch alfa razy cosinus kwadrat alfa".

zad. 4
Rozwiąż równanie: sinx + sin2x + sin3x = 4cosxcosx/2cos3x/2. (odp: Π/6 + 2/3 kΠ, Π/2 + kΠ, Π + 2kΠ, k є C).

zad. 5
Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny, którego kąt ostry ma miarę Îą. Wszystkie krawędzie boczne mają długość k i są nachylone do podstawy pod kątem o mierze β. Oblicz objętość tego ostrosłupa. (odp: V = 1/6 kÂłsin2Îąsin2βcosβ.)

Bardzo dziękuję za pomoc.
  parabola, trójkąt i jego pole..
Proszę o pomoc z tym zadaniem
Zadanie 16
Dana jest parabola opisana równaniem y = (x - 3)^2 +1. Tworzymy trójkaty
ABC takie, że punkt A leży w poczatku układu współrzednych, punkt B o
współrzednych (xb, yb) leży na paraboli, punkt C ma współrzedne (xb, 0).
a. Napisz wzór funkcji P, okreslajacej pole trójkata ABC w zależnosci od xb
dla xb> 0.
b. Znajdz trójkat o najwiekszym polu dla xb Î (0; 3); w odpowiedzi podaj
współrzedne punktu C.

chodzi mi o podpunkt b) bo a) jest banalny..
  Pole rombu opisanego na okręgu
Dany okrąg ma promień (piersiastek z 3) reszta informacji co do jego połorzenia w układzie współrzędnych jest niepotrzebna:), więc wysokość rombu opisanego na nim to średnica czyli 2(pierwiastki z 3). Kąt ostry rombu ma miare 60 stopni, więc składa się z 2 trójkatów równobocznych o boku a.
Mamy wysokość równą 2(pierwiastki z 3), więc ze wzoru na wysokość w trójkacie równobocznym otrzymujemy że a=4.
Pole tego rombu P=ah=8(pierwiastków z 3).
Krótsza przekątna to a= 4
Dłuższą przekątna otrzymujemy korzystając ze wzoru na pole P=1/2*d1*d2.
d2=4(pierwiastki z 3)

Jeśli chodzi o pole trójkata równobocznego wpisanego w ten okrąg...
2/3h=R więc h=3/2*(pierwiastek z 3) i znów wzór na wysokość w trójkącie równobocznym i już mamy, że a=3

czyli (a^2 * (pierwiastek z 3))/4 ... więc (9 * (pierwiastek z 3))/4
  Twiedzenie talesa. Proszę o Pomoc!!
W drugim zadaniu zrób rysunek pomocniczy i wszystko będzie jasne:
wyznacz równania prostych AC i BC podstawiając wierzchołki do wzoru Y=a*X+b znajdziesz a i b i podstawisz je do tego wzoru potem znajdziesz wzór prostej AB i do niej równoległej przechodzącej przez dany pkt tutaj aby punkt podstawisz do wcześniej obliczonej prostej i otrzymasz do niej równoległą zmieni się b, potem ułożysz dwa układy równań z prosta AC ^ DE i BC^DE jak już będziesz miała punkty przecięcia to z Pitagorasa boki obliczysz a pole trapezu obliczysz z różnicy trójkątów aby sobie maxymalnie ulatwic poszukaj wzoru na pole trójkąta położonego w układzie współrzędnych
  Twiedzenie talesa. Proszę o Pomoc!!
Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty A(-4,2) i B(4,-6)
y=ax+b podstawiamy do wzoru oba punkty pierwsze współrzędna to x druga - y
2 = -4*a+b punkt A
-6 = 4*a+b punkt B
wyznaczamy z pierwszego i drugiego równania np b
2+4*a=b
-6-4*a=b Przyrównujemy
2+4*a=-6-4*a
otrzymujemy a=-1 i b=-2 czyli prosta ma wzór y = (podstawiamy a które wyliczyliśmy) -1*x+ (wyliczone b) -2
y=-x-2 i teraz wiesz, że prosta do niej równoległa przechodząca przez dany punkt, czyli współczynniki "a" obu prostych są równe różne sa natomiast b aby obliczyć drugie b po prostu podstawiasz punkt do tego wzoru czyli 0=-1*2+b czyli b=2 dana prosta to y=-x+2 i teraz szukasz miejsc przecięcia się tej prostej z prostymi wyznaczającymi pozostałe boki trójkąta, wyznaczasz dwie pozostałe w identyczny sposób jak wyżej. Prosta AC ma podajże wzór y=1/3x+11/3 a BC y= 3x-18 i wyznaczasz miejsca przecięcia się prostych AC i BC z Prostą równoległą do AB przechodzącą przez Pkt P czyli dwa układy równań jak wyżej i otrzymujesz z nich szukane punkty. Obwód trójkąta z działań na wektorach - od większego x odejmujesz mniejszy i masz długość przyprostokątnej równoległej do osi x i tak samo z ykami i później z Pitagorasa obliczasz przeciwprostokątną która u ciebie jest bokiem i tak trzy razy masz obwód Pole trójkąta o wierzchołkach A=(x1,y1) B=(x2,y2) C=(x3,y3) jest równe 1/2*(x1*y2+y1*x3+x2*y3-x3*y2-y3*x1-x2*y1) z tego wzoru oblicz pole dużego oraz małego trójkąta a potem od większego odejmij mniejszy i otrzymasz pole trapezu
  Zadanie 3

Jak się oblicza pole trojkąta mając dane tylko jego 3 punkty współrzene na
osi współrzędnych ? (długośc tych bokow obliczylem , ale nie wiem jak
obloczyć wysokosc ... )

Pozdrawiam !


Metod rozwiazania tego zdanie jest co najmniej kilka.

Jesli masz awspolrzedne wierzccholkow, to latwo napiszesz rownania prostych
przechodzacych przez nie ( rownania bokow)

korzystajac ze wzoru

y-y1=[(y2-y1)/(x2-x1)]*(x-x1)     z ktorego wychodzi ci prosta postaci
y=ax+b

gdzie (x1,y1)  (x2,y2) to wpolrzedne wierzcholkow, przez ktore przechodzi ta
prosta.

wystarczy ci jedna taka prosta

trzeci z wierzcholkow (zawierajaca wysokosc)

korzystasz ze wzoru
y-y3= m*(x-x3)
gdzie m to wspolczynnik kierunkowy tej prostej, skoro zawiera ona w sobie
wysokosc, czyli jest ptosropadla, do prostej zawierajacej bok, ktorej
rownanie znamy, zatem wspolczynnik bedzie wynosil m= -1/mb

gdzie mb to wspolczynnik kierunkowy prostej zawierajacej bok

czyli m= -1/[(y2-y1)/(x2-x1)]= -[(x2-x1)/y2-y1)]

majac rownania obu prostych, rozwiazujesz uklad rownan, na ktoru skaladaja
sie obie te proste i otrzymujesz wspolrzedne puktu przeciecia, czyli
wspolrzedne drugiego konca wysokosci (jednym jest wierzcholek), dalej
poradzisz sobie sam(a).

Jest jeszcze prostszy sposob.
Jesli umiesz rozwiazywac wyznaczniki skladajce sie z 3 kolumn i 3 wierszy,
to majac wspolrzedne wierzcholkow, szybko policzysz pole ze wzoru:

P= 1/2*wartosc bezwzgledna z wyznacznika
                                          x1   y1   1
wyznacznik ten ma postac:  x2   y2   1
                                          x3   y3   1

gdzie (x1,y1) (x2,y2) (x3,y3) -wspolrzedne wierzcholkow

Powodzenia

Daniel

  Międzyszkolne zawody matematyczne - eta p okegowy)
Wróciłem właśnie z MZM-u. Poniżej zadania z moimi wynikami (klasa 4 ogólna):

1. Oblicz lim(x-1)[(X^3+x^2-2)/(sin(x-1))]

Mi wyszło 5

2. Naszkicuj wykres

f(x)=sqrt(|sinx|-1)-3

U mnie wyszły punkty postaci (k*pi/2,-3) i keC

3. Przyjmij, że punkt Q jest środkiem ciężkości trójkąta ABC. Wykaż że
AQ+BQ+CQ=0 (AQ,BQ,CQ i 0 to wekory [nie wiem jak to zapisać w ascii)

Skorzystałem ze wzoru na współrzędne środka c. w geometrii analitycznej i
wyszło.

4. Dany jest ostrosłup o równych krawędziach bocznych, w którym podstawą
jest czworokąt ABCD. Wiedząc że kąt CDA ma miarę 30 stopni, podaj miarę
kąta ABC.

Mi wyszło ABC=150 (bo na ABCD można opisać okrąg).

5. Przyjmując że x=(1+1/n)^n, y=(1+1/n)^(n+1) dla pewnego neN{0}
udowodnij równość x^y=y^x

Poprzekształcałem i wyszło.

6. Rozwiązać równanie

[(x^3)/sqrt(4-x^2)]+x^2-4=0

U mnie x=sqrt(2)

7. Trzy liczby rzeczywiste różne od zera tworzą ciąg arytmetyczny, a
kwadraty tych liczb zapisane w tym samym porządku tworzą ciąg
geometryczny. Wyznacz iloraz tego ciągu geometrycznego.

U mnie q=1

8. W trójkącie prostokątnym ABC, o kącie prostym przy wierzchołku C,
obrano punkt P tak, że trójkąty PAB, PBC, PAC mają równe pola. Wyraź w
zależnościod dodatniej liczby m długość odcinka PC, wiedząc, że
|PA|^2+|PB|^2=m^2

Tego nie zrobiłem

9. Znajdź współrzędne wierzchołków prostojkąta o maksymalnym polu, który
znajduje się w I lub w II ćwiartce układu współrzędnych, wiedząc, że jego
dwa boki zawierają się w osiach układu, a jeden z wierzchołków jest
położony na paraboli o równaniu y=4-x^2

Wyszły mi dwa argumenty x=2*sqrt(3)/3 i x=-2*sqrt(3)/3 - czyli prawe lub
lewe dolne wierzchołki.

10. Dany jest trójkąt równoboczny o boku długości a. Przez środek D
jednego z boków tego trójkąta poprowadzono prostą tworzącą z tym bokiem
kąt ostry o mierze alpha i dzielącą ten trójkąt na dwie figury, których
stosunek pól jest równy 1:7. Wyznacz miarę alpha.

Tu obliczyłem tylko wysokość tego mniejszego trójkąta.

Zadania 1-2 są za 2 pkt, 3-4 za 3, 5-8 za 4 i 9-10 za 5.

Czy te wyniki są dobre? I jeszcze jedno, czy przechodząc do następnego
etapu jestem już finalistą???

  Pole obszaru zamknietego.

 Czy dalo by sie zapisac "uniwersalny" wzor na pole takiego
obszaru przy danych wsp.? czyli cos w stylu P=x1*y2..... ?


Jeżeli masz te punkty uporządkowane, to wzór jest prosty. Punkty muszą być
"po kolei" na obwodzie obszaru (wielokąta) w konkretnym kierunku obiegu (w
lewo albo w prawo) jak będzie odwrotnie to pole wyjdzie ujemne, czyli też
nie jest to wielki problem bo można sobie zrobić abs() i po sprawie.

Jeżeli się nie pomyliłem to:

    2P = sum_{i=1}^{n-1}(x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) + x_n y_1 - x_1 y_n

Chodzi o to, że... połowa długości iloczynu wektorowego to pole trójkąta
wyznaczonego przez te wektory. Ale jeżeli rzecz się dzieje na płaszczyźnie,
to iloczyn wektorowy ma niezerową tylko "trzecią, zetową" współrzędną i to
tylko z niej należy wyliczać ową długość poprzez sqrt(z^2), co jest
równoważne abs(z). Ale... jeżeli pominąć ten abs(), to jest to pole razy
"kierunek obiegu". Jeżeli teraz narysujesz sobie dowolny wielokąt wypukły i
połączysz jego wierzchołki z początkiem układu współrzędnych to otrzymasz
serię trójkątów. Od tych które mają część wspólną z wielokątem należy odjąć
pozostałe, a one właśnie różnią się kierunkiem (znakiem kąta skierowanego).
Na koniec jeszcze trzeba dodać ostatni trójkąt pomiędzy ostatnim a pierwszym
wierzchołkiem. działa to też dla wielokątów wklęsłych.

Chyba trochę zamieszałem, ale bez rysunku to ciężko wytłumaczyć. Zrobiłem to
po to żeby w razie błędu we wzorze dało się go sprawdzić.

Pozdrawiam Kimbar

  punkt w trojkacie

Robert Kuczmera

Użytkownik Boguslaw Szostak
[...]

| (xB-xA)*(yC-yA)-(xC-xA)*(yB-yA) jest niezerowy (bo A,B, C sa
wierzcholkami
| trojkata)

| Dalej wyliczyc x i y Pan potrafi prawda?

| A jesli nie ma wspolrzednych, to jak Pan wyliczy potrzebne odcinki?

| Boguslaw

Wybaczy Pan, ale IMHO strzela pan z armaty do mrowki. Wektory,
wyznaczniki
etc... po co?


Po to, by uzasadnic wzory.

Wybaczy Pan, ale  obliczanie z punktow odleglosci, potem z odleglosci
pol trojkatow by wyliczyc, czy pujnt jest wewnatz trojkata to muz chyba nie
armata, a pulk bombowcow nocnych,

Wspolrzedne sa podane, a wzory na odleglosc w przestrzeni kartezjanskiej
sa
powszechnie znane.


wzory Cramera na rozwiazanie ukladu 2 rownan TEZ sa powszechnie znane.

A jesli nie ma wspolrzednych to co ze wspolrzednymi wektorow - z
powietrza?
Poza tym moja metoda moze byc zrozumiala nawet przez kogos, kto nie zna
geometrii analitycznej i algebry liniowej.


Zaraz....
Chodzi o to, by zrozumiec metode, czy by ja udowodnic?

Trzeba sie sporo naliczyc, by wyliczyc potrzebne wzory
na doleglosci i pola trojkatow. Poza tym nie ma sensu obliczac
odleglosci ze wspolrzednych, skoro ze wspolrzednych BEZ PIERWIASTKOWANIA
mozna policzyc POLA.

Po wyliczeniu wzorow naklad obliczen przez rozklad na skladowe
nie jest zbyt wielki pietnascie odejmowan, szesc mnozen i trzy dzielenia.

pozdro
Robert vel Kazio Kuczmera


Pozdrawiam

Boguslaw

  zadania różne - proszę o pomoc
dziękuję i proszę o pomic w tych zadaniach:
1. Wiadro wisi przywiązane do łańcucha nawiniętego na wałek kołowrotu tak, jak przedstawiono na rysunku. Aby wiadro dotknęło lustra wody należy wykońać 14 pełnych obrotów korbą. Oblicz odległość lustra wody od brzegu studni, gdy wiadomo, że wałek kołowrotu ma średnicę 20 cm. Wynik podaj w zaokrągleniu do 1 m.
2. Punkty A=(3,4), B=(0,3) i C=(1,0) należą do okręgu. Oblicz pole trójkąta równobocznego opisanego na tym okręgu.
3. Świeżo skoszona trawa zawiera 60% wody, a wysuszone siano tylko 15% wody. Oblicz, ile kilogramów wysuszonego siana można otrzymać z 1 tony skoszonej trawy? Wynik podaj w zaokrągleniu do pełnych kilogramów.
4. Z drutu miedzianego o długości 11 metrów odcięto kawałek. Którego długość mierzona w centymetrach jest równa długości pozostałej części drutu mierzonej w decymetrach. Oblicz długość odciętego kawałka drutu.
5. Wysokość CD trójkąta ABC tworzy z bokami AC i BC kąty o miarach równych odpowiednio 20 stopni i 60 stopni. Punkt A należy do odcinka DB.
a) Narysuj trójkąt ABC i jego wysokość CD
b) Wyznacz miary kątów trójkąta ABC powołując się na odpowiednie twierdzenia.
6. W poniższej tabeli podane są wartości funkcji kwadratowej g dla kilku wybranych argumentów zapisanych w kolejności rosnącej :

x -2 -1 0 1 X
g(x) X -4 1 2 -1

a) Wyznacz wzór funkcji g
b) Uzupełnij brakujące zapisy w tabeli ( liczby X)
c) Rozwiąż nierówność g(x) mniejsze lub równe 1
7. A = {x:xєN i x mniejsze lub równe pierwiastek z 230}, B={x:x<25 i x=5n i nєN+}
Wyznacz zbiory A w sumie z B oraz BA
8. Wykres funkcji liniowej f przecina osie układu współrzędnych w punktach P(OX) = (2,0) oraz P(OY)= (0,4)
a) Wyznacz wzór funkcji f
b) Sprawdź, czy dla argumentu x= 1 przez pierwiastek z 2 – 1 wartość funkcji wynosi 2 – 2 pierwiastki z dwóch.
9. Dany jest prostokąt o wierzchołkach A=(-2,-2), B=(1,-2), C=(1,1), D=(-2,1). Wyznacz wszystkie wartości współczynnika b, dla których prosta o równianiu y=2x+b ma co najmniej jeden punkt wspólny z prostokątem ABCD. Rozwiązując zadanie wykonaj odpowiedni rysunek.

dokładne rysunki są dostępne do ściągnięcia ze strony : http://www.sendspace.com/file/dajik1

z góry dziękuję
  5 trudnych zadanek

Prosze o rozwiazanie tych zadanek z góry dziekuje.

1.Środkową cyfrą trzycyfrowej liczby jest 8. Jeżeli tę cyfrę przestawimy ze
środka na koniec, to otrzymamy liczbę o 9 mniejszą od pierwotnej, a jeżeli
przestawimy ją na początek, to otrzymamy liczbę o 630 większą od pierwotnej.
Jaka to liczba?


Niech x bedzie cyfra setek, a y - cyfra jednosci. Wtedy liczba
trzycyfrowa jest 100*x + 80 + y, pierwsze przestawienie daje 100*x +
10*y + 8 = 100*x + 80 + y - 9, czyli 9*y = 63, y = 7.
Drugie przestawienie daje 800 + 10*x + y, wiec
807 + 10*x - 630 = 100*x + 87
90*x = 90
x=1.

Szukana liczba jest 187.

2.Jakie jest największe pole czworokąta, którego długości kolejnych boków
wynoszą: 3, 7, 9, 11?


Z uwagi na symetrie problemu sa trzy mozliwosci wyboru kolejnosci
bokow, kazda w zaleznosci od tego, ktory bok jest przeciwlegly do
najdluzszego:

11,9,3,7 - przeciwlegly do 11 jest 3
11,9,7,3 - przeciwlegly do 11 jest 7
11,7,9,3 przeciwlegly do 11 jest 9.

Np. w pierwszym przypadku niech a bedzie katem miedzy bokami 11 i 9, a
b niech bedzie katem miedzy bokami 7 i 3. Prowadzimy przekatna d
czworokata, ktora dzieli go na dwa trojkaty: jeden o bokach 11,9,d i
kacie a, drugi o bokach 7,3,d i kacie b. Katy a i b powiazane sa ze
soba za pomaca tw. cosinusow:

d = 11^2 + 9^2 - 2*11*9*cos(a) = 7^2 + 3^2 - 2*7*3*cos(b).

Wyznaczamy jeden z tych katow przez drugi, powiedzmy b = f(a).
Obliczamy pole czworokata jako sume pol trojkatow:

S_1 = 11*9*sin(a)/2 + 7*3*sin(f(a))/2

Szukamy maximum tej funkcji zmiennej a i obliczamy najwieksza wartosc.

Powtarzamy to dla pozostalych dwoch ukladow bokow i z trzech
maksymalnych pol wybieramy najwieksze.

3. Wyznaczyć wszystkie liczby x, y, z takie, że
                                                       3x^+y^+z^=2x(y+z)


A co to jest x^ ?

4. Prostą o równaniu 3x-6y=12 przekształcono symetrycznie względem początku
układu współrzędnych.
a)Napisz równanie otrzymanej prostej


Punkt (a,b) lezy na obrazie prostej <=symetryczny do niego punkt
(-a,-b) lezy na prostej. Zatem rownanie obrazu prostej to -3x+6y=12.

b)Oblicz odległość pomiędzy prostą 3x-6y=12 i jej obrazem


A znamy wzor na odleglosc miedzy prostymi? Jesli tak, to wstawiamy
dane do tego wzoru.
Jesli nie, to wybieramy po punkcie na kazdej z tych prostych - np.
(4,0) na danej prostej i (0,2) na jej obrazie, wektor [4,-2] laczy te
punkty; wektor [3,-6] to wektor normalny obu prostych, obliczamy rzut
prostopadly [4,-2] na kierunek [3,-6]:

rzut = (([4,-2]*[3,-6])/([3,-6]^2))[3,-6]= (24/45)[3,-6] =
(8/15)[3,-6]

i odleglosc jest rowna dlugosci tego rzutu, czyli (8/15)*sqrt(45) =
(8*sqrt(5))/5.

c)Oblicz pole figury ograniczinej tymi prostymi i osiami układu
współrzędnych


Z uwagi na symetrie jest to podwojone pole trojkata prostokatnego,
ktorego przyprostokatne leza na osiach, a przeciwprostokatna - na
danej prostej (wierzcholki: (0,0), (4,0), (0,-2)). Zatem szukane pole
jest rowne 2*4 = 8.

5. W pewnej grupie uczniów średnia wieku wynosi 11 lat. Najstarszy z nich ma
17 lat, a średnia wieku wszystkich pozostałych wynosi 10 lat. Ile uczniów
liczy ta grupa?


Niech n bedzie liczba osob. Wtedy laczny wiek wszystkich jest rowny
11*n, zas laczny wiek pozostalych jest rowny (n-1)*10.

11*n = 10*n - 10 + 17

n=7.

Z powazaniem
Marek Szyjewski

                 My, samotnicy, powinnismy trzymac sie razem!

  funkcja, kula, kwadrat
Ad. 1

Jest to funkcja liniowa. Wzór ogólny takiej funkcji to y=ax+b. W poleceniu masz podaną funkcję y=-3x+5, więc tutaj a=-3, a b=5.

Jeżeli masz podane więcej wzorów, to warto oznaczać współczynniki tak:

, , itd.

Tutaj: , .

Aby dwa wykresy funkcji liniowych były do siebie prostopadłe, musi zachodzić jeden warunek:

, , .

b - obojętnie jakie. Spróbuj znaleźć odpowiednie .

[ Dodano: 6 Lipiec 2008, 16:30 ]
Drugie zadanie: do obliczenia pola trójkąta potrzebna Ci jest długość podstawy i długość wysokości. Długość poziomej podstawy możesz odczytać z osi x. Natomiast długość pionowej wysokości - tylko z osi y. Aby to zrobić, musisz znaleźć współrzędną y punktu, w którym przecinają się wykresy obu funkcji. Możesz to zrobić tak:

W tym punkcie obie funkcje mają tą samą wartość y dla tego samego argumentu x. Zatem muszą być równe.

Skoro: y=2x i y=-x+6, to: 2x=-x+6. Musisz z tego wyznaczyć x. Gdy to zrobisz, wstaw jego wartość do któregoś z wzorów (obojętnie którego). To, co wyliczysz (y=...), to wysokość trójkąta.

[ Dodano: 6 Lipiec 2008, 16:41 ]
Ad. 2

Pudełko to graniastosłup. Objętość liczy się z wzoru:

, h - wysokość, S - pole powierzchni podstawy

h widać już na rysunku Potrzebne Ci pole powierzchni podstawy S. Podstawa to trójkąt równoboczny. Wzór na jego pole to:

, a - to długość boku trójkąta.

Od góry pudełko wygląda mniej więcej tak:



To na czerwono, to średnica kuli (a na rysunku - koła). Pamiętasz jak rysowałem zależności w takim trójkącie do jednego z poprzednich zadań i o wysokości trójkąta z okręgiem wpisanym? Wykorzystaj to tutaj

[ Dodano: 6 Lipiec 2008, 16:47 ]
Ad. 3

Pole obliczysz odejmując od pola kwadratu pole trójkąta. Żeby obliczyć pole powierzchni kwadratu, potrzebujesz długości jego boku. Możesz ją odczytać z układu współrzędnych.

Teraz pole trójkąta. Wysokość widać na osi y Potrzebna jeszcze długość podstawy. Potrzebne Ci współrzędne x przecięcia wykresu funkcji y=|x|+1 z bokiem kwadratu. Zrób to na tej samej zasadzie, co w zadaniu drugim z linku pierwszego. Jeśli w układzie linia jest równoległa do osi x, to wyraża się wzorem y=n, gdzie n to miejsce przecięcia z osią y. Tutaj jest to 3, czyli y=3.

Powodzenia W razie pytań - pisz.
  [ Wyższa] ? Ładunki punktowe w ośrodku niejednorodnym- siła
To rozrysowany schemat rozwiązania, gdzie już wszystko jest jasne:

Spróbuję podejść do zadania "geometrycznie"- mamy ośrodki o przenikalności (próżnia) oraz (dielektryk). Ustawiam ładunek w próżni w odległości od granicy oraz ustawiam układ współrzędnych jak na załączonym rysunku. Długość to odległość od początku układu współrzędnych do przecięcia się linii pola elektrostatycznego z granicą ośrodków. Szukam wartości natężenia pola elektostatycznego dla danego punktu w próżni . Linia pola elektrostatycznego na styku ośrodków załamuje się, oznaczam kąty załamania jako - czyli kąt, jaki linia w dielektryku tworzy z normalną oraz kąt tworzony przez linię załamaną w próżni z normalną.
Wychodząc z elektrostatycznego prawa załamania:

Oraz z długości i trójkątów widocznych na rysunku:
;
Otrzymuję długość :

Newralgiczny punkt rozwiązania: linie załamane biegną w próżni tak, jak gdyby wybiegały z punktu położonego "głębiej" w dielektryku (w omawianym przypadku). Jednocześnie prawo załamania opisuje automatycznie, co dzieje się przez rozkład naelektryzowanych przez indukcję dipoli w dielektryku. Mamy tutaj analogiczna sytuację jak z optyki, gdy mamy do czynienia z obrazami pozornymi przedmiotów. Długość będzie tutaj odległością tego pozornego obrazu ładunku od granicy ośrodków. Z podobieństwa trojkątów rozłożonych na kącie wynika związek:

Skąd

Wzór ten po uproszczeniu wynosi po prostu (wszystkie linie załamane po przedłużeniu przecinają się w jednym miejscu):

Linie pola nie giną przy przejściu; strumień pola elektrostatycznego w danym punkcie można wyznaczyć, korzystając z prawa Gaussa. Oczywiście, "ilość" linii pola zależy od faktu, że ładunek początkowo jest w dielektryku. Strumień tego pola:

I mamy wzór na natężenie w danym punkcie płaszczyzny:

Na miejscu zarzekam się, że nie obliczyłem tutaj dokładnie tego, czego oczekiwałem na początku w zadaniu. Wzór wydaje się słuszny, gdyż dla szczególnych przypadków estetycznie redukuje się do oczywistej postaci. Roi mi się, że wzór ten umożliwia jedynie obliczenie siły działającej na ładunek punktowy umieszczony w próżni, kiedy w dielektryku mamy znacznie większy ładunek , możemy oczywiście wyznaczyć też potencjały w próżni. Wychodzę z rozumowania: ładunek w dielektryku, powiedzmy dodatni, ustawi jakoś dipole i osiągną pewien stan. Teraz umieszczenie ładunku dużego, ujemnego dodatkowo "nawróci" dipole w swoją stronę, zaś umieszczenie jednoimiennego będzie je odpychać, co również zmieni sytuację. Być może ktoś dopisze przypadek ogólny?
  Czy A. Einstein wiedział o tym tworząc swoją toerię?
Ciekawe co na Twoje Ekorze i moje "podszczypywanie", odpowie Casandra...
Mnie zastanawia coś innego. Ale też wpadnę ...dokładnie grawitacyjnie na grawitację!

Mianowicie siły elektryczne (zmiana pola elektrycznego) i siły magnetyczne są ze sobą powiązane i to prostopadle. Jeżeli zmieni się pole elektryczne na przykład pod wpływem zmiany natężenia prądu, zmienia się pole magnetyczne. Występuję tzw. opór materii, który chce zachować stałość. Pole magnetyczne przeciwstawia się zmianie pole elektrycznego. Przepływ prądu zmiennego (przemiennego, sinusoidalnego) musi wykonać dwie prace: zmieni swoje pole i pole magnetyczne.

Patrząc na avatara Ekora, gdy jeden bok trójkąta będzie wektorem zmiany pola elektrycznego, to druga przeciwprostokątna jest wektorem zmian pola magnetycznego. Jest to ujęte w prawach Maxwella. Wektory są ustawione prostokątnie. Układ współrzędnych nie ma znaczenia, bo ustawiany go tak, aby 2 wektory wytyczały tą płąszczyznę, w której widnieją jednowymiarowo. Wynika z tego, że przeciwprostokątna jest też wektorem i to zależnym od prędkości światła i energi przenoszonej przez niestałe cząski elktryczne o spinie ... niematerialnym. Jeżeli przeciwprostokątna jest stała, to jeden z boków trójkąta prostokątnego wyznacza drugi, prostopadły do niego wektor! I niesymetryczność materii wpływa, że w równaniach Maxwella pole elektryczne jest prostopadłe do przewodu, w którym płynie prąd zmienny (zmienia się jego natężenie). W stosunku do puntowego łądunku elektrycznego pole magnetyczne jest bezźródłowe, linie pola magnetycznego są zamknięte wokół ładunku. Czyli w ten sposób siły elektryczne i magnetyczne są ze sobą powiązane.

Teraz o teorii Einsteina. Obowiązują tam równania Lorentza, w których w każdym wzorze w ich mianowniku występuje sqrt( 1 - v^2/c^2). Jest to wielkość drugiej przyprostokątnej, gdy pierwszą jest v - wektor/skalar prędkości, gdy c - to prędkość światła. Daje to takie wyniki
Jeżeli nie poruszamy się względem siebie, to jedna z przyprostokątnych równa jest zero, a druga, względem której obliczamy wielkości rządzące światem widziane są .... w prędkości swiatła. Albowiem druga przyprostokątna ma wielkość wektora światła, a wektor jest stały w TW!
Gdy poruszamy się względem siebie z prędkością swiatła, to świat widzimy stojący w miejscu! Wszelkie wielkości, ze względu, że ta wielkość występuje w mianowniku wszystkch wielkości są ... nieskończone. Sa aż niewidoczne! Zanika też czas, czyli też rośnie do nieskończoności.
Tak normalnie, gdy poruszamy się między zerem a końcową możliwą prędkością, jesteśmy spychani w niewiadomo jakim kierunku ale prostopadłym do kierunku poruszania się i to łącznie z... czasem. Albowiem wszystko co tu opisałem zawiera we wzorach t - czas.

Po tych rozważaniach weźmy siły i pole grawitacyjne. Dlaczego nie ma ono takiego odpowiednika, przelicznika? Jak do tej pory w powyższych rozważaniach wszędzie występował czas. Nawet jeżeli czas jest wielkością wtórną do prędkości światła, to czas jednak jest przyjęty jako jedna ze współrzędnych i to jednokierunkowo! Ponadto siła grawitacyjna nie daje się zunifikować. GUT ją pomija! I tak się zastanawiam. Czy przypadkiem grawitacja i grawitony nie ... emitują przestrzeni? Nie emitują trzech jej wymiarów? No i dlaczego tylko czy aż [b[3[/b]?

PS. W stosunku do "wykładów" Casandry, moje rozważanie jest w kierunku jak można (powinno?) widzieć świat na podstawie dotychczasowych tłumaczeńia, dlaczego tak jest, co przedstawiła Casandra.
  Kilka zadanek na egzamin wstepny- prosze o pomoc (do ponie działku!)

3. Czworościan ABCD ma wszystkie krawędzie długości 1. Przecinamy go
płaszczyzną równoległą do AB i CD i dzielącą AC w stosunku x e(0,+inf).
Wyliczyc pole P(x) przekroju czorośc. tą płaszczyzną i zbadać otrzymaną
funkcję (pole)


 (Co to znaczy dzieli w stos. x - czy x to ułamek?)

Niech P bedzie punktem przeciecia plaszczyzny i AC. x = AP/PC,
AP+PC=AC=1, x+1=AC/PC, PC=1/(x+1)=PC/AC, AP=x/(x+1)=AP/AC. Jesli
narysowac czworoscian na plaszczyznie tak, ze AB jest odcinkiem
poziomym, a CD jest odcinkiem pionowym, to rzut czworoscianu jest
kwadratem, a czesc wspolna plaszczyzny i czworoscianu jest
prostokatem.
Jeden bok tego prostokata obliczamy z podobienstwa trojkatow ACD i
APQ,
gdzie Q jest punktem przeciecia plaszczyzny i AD:

PQ = (x/(1+x))*CD = x/(1+x).

Drugi bok PR (R - punkt przeciecia plaszczyzny i CB) obliczamy z
podobienstwa trojkatow ACB i PCR:

PR = (1/(1+x))*AB = 1/(1+x).

P(x) = x/((1+x)^2)

P(x) przyjmuje wartosci dodatnie i dazy do 0 przy x---0 i przy
x---infty (os x-ow jest asymptota pozioma).

P'(x) = (1-x^2)/((1+x)^4) jest dodatnia dla 0<x<1 i ujemna dla x1,
co daje przedzialy monotonicznosci i jedyne maksimum x=1, P= 1/4 oraz
to, że do punktu (0,0) wykres dochodzi jak prosta y=x).

P''(x) = (2x-4)/((1+x)^4), wiec wykres jest wypukly w gore dla 0<x<2
i wypukla w dol dla x2, x=2 jest punktem przegiecia ze styczna
y-2/9 = -(x-2)/27.

4. Na okręgu umieszczono 8 różnych punktów. Kreślimy losowo 4 różne odcinki
o końcach w tych pkt. Obliczyć P, że narysujemy czworokąt wypukły.

Zrobiłem dla założenia, że odcinki kreślimy "bez odrywania ołówka"
(koniec poprzedniego początkiem następnego). A jak zadanie wygląda dla
zupełnie dowolnych odcinków?


Jest 8*7/2 = 28 odcinkow, z ktorych losuje sie cztery - na
28*27*26*25/(2*3*4) = 7*9*13*25 sposobow. Czworokat wypukly powstaje
tak: wybiera sie cztery wierzcholki i laczy kolejno. Mozna to zrobic
na (8*7*6*5)/(2*3*4) = 2*5*7 sposobow. Szukane prawdopodobienstwo jest
rowne (2*5*7)/(7*9*13*25)=2/(5*9*13).

5. Znaleźć długości boków trójk. prostok. opisanego na okręgu r=1,  który
ma największe pole (trójkąt).

Nie mogę dojść do wzoru na pole tego trojkąta dla 1 zmiennej, żeby  
wyliczyć pochodną.


Raczej chodzi o najmniejsze pole - jesli przeciwprostokatna malo
odchyla sie od rownoleglej do jednej z przyprostokatnych, to pole jest
dowolnie duze.

Ewentualnie obracajac i przesuwajac mozna przyjac, ze okrag ma srodek
w punkcie (1,1), a przyprostakatne leza na osiach ukladu
wspolrzednych.
Niech x bedzie punktem przeciecia przeciwprostokatnej z osia OX.
Prowadzimy promienie okregu do punktow stycznosci. Dwa z nich tworza
kwadrat o boku 1, zatem (rownosc odcinkow stycznych) preciwprostokatna
ma dlugosc

sqrt(x^2 + y^2) = (x-1)+(y-1).

x^2 + y^2 = x^2 +2xy + y^2 -4x - 4y +4

2xy - 4x - 4y +4 = 0
xy-2x-2y+4-2=0
(x-2)(y-2)=2
y=2 - 1/(2-x)

2S = xy = 2x - x/(2-x) = 2x-1 - 2/(1-x)

gdzie 2<x<infty; S dazy do nieskonczonosci przy x---2 i przy
x---infty.

2S' = 2 - 2/((2-x)^2)

znika dla x=3 - wtedy y = 2 - 1/(2-x) = 2+1 =3.

7. Egzotyczny stół bilardowy to taki, w którym suma kątów padania i odbicia
jest równa 90 stopni. Stołem jest kwadrat ABCD o boku 1. Kula startuje z
punktu P na boku AP, uderza w punkt Q (bok BC), potem R (CD), S (DA) i
wraca do punktu P. |AP| = d, |BQ| =?

Są dwa przypadki ( PQRS może być kwadratem -AP=BQ, PQRS prostokątem -
tutaj wysiadam)


Warunek zadania oznacza, ze tor kuli odbitej jest prostopadly do toru
kuli padajacej. Tor musi byc prostokatem - prostokatem "wpisanym" w
kwadrat jednostkowy.
Zbadajmy to analitycznie. Niech w A bedzie poczatek ukladu
wspolrzednych, AB lezy na osi OX, AD - na osi OY. Niech

P = (d,0), Q = (1,e), R = (f,1), S = (0,g)

przy czym wektory

PQ = [1-d,e], QR = [f-1,1-e], RS = [-f,g-1], SP = [d,-g]

maja byc kolejnymi bokami prostokata, wiec RS = -PQ, SP = -QR

f=1-d, e = 1-g
d=1-f, g = 1-e

czyli mozna wyeliminowac f i g:

PQ = [1-d,e], QR = [-d,1-e], RS = [d-1,-e], SP = [d,e-1].

Wektory te maja byc do siebie kolejno prostopadle:

d(1-d)-e(1-e) = 0.

Potraktujmy te rownosc jako rownanie z niewiadoma e:

e^2 - e + d(1-d) = 0
e^2 - e + 1/4 - 1/4 + d - d^2 = 0
(e - 1/2)^2 = (d - 1/2)^2

e - 1/2 = d - 1/2 lub e - 1/2 = 1/2 - d
e = d lub e = 1 - d.

Zatem sa dwie mozliwosci wystrzelenia bili z punktu P tak, zeby
trafila
do punktu wyjscia: albo rownolegle do przekatnej AC (e=1-d), albo tak,

zeby kolejne odcinki toru przechodzily na siebie przy obrocie o kat
prosty (e=d).

8. Podstawą ostrosłuba ABCDS jest czworokąt wypukły ABCD. SA=SB=SC=SD, kąt
A=60 stopni, kąt C=?

Jak udowodnić, że w podstawie jest równoległobok i spodek wysokości leży
na przecięciu przekątnych?


Zakreslmy sfere o srodku w S i promieniu SA=SB=SC=SD. Wierzcholki
A,B,C,D leza na tej sferze i leza w plaszczyznie podstawy. Zatem
postawa ABCD jest wpisana w okrag - czesc wspolna sfery i plaszczyzny
podstawy. Stad C = 180 - A = 120 stopni.

Z powazaniem
Marek Szyjewski

                 My, samotnicy, powinnismy trzymac sie razem!

  Objetosc asteroidy
Rownanie parametryczne asteroidy:
    x = a sin^3(t),  y = a cos^3(t),  0 <= t <= 2 pi      [1]

Na poczatek nalezaloby sprawdzic, ze krzywa zadana tymi rownaniami
jest zamknieta i nie przecina samej siebie, bo inaczej proba
obliczenia pola moze dac istotnie 'ko(s)miczne' wyniki.
Zalozmy, ze to juz jest zrobione.
Poniewaz jest to krzywa zamknieta, wysoce symetryczna, o srodku
w poczatku ukladu wspolrzednych XY, to przeliczymy ja do ukladu
wspolrzednych biegunowych. Po co? Na przyklad dla sportu. I jeszcze
po to, zeby sobie rachunki uproscic.

Wspolrzedne nazwiemy R (promien) i f (kat). Wolalbym alfa, ale to za
duzo pisania, wiec niech bedzie fi - skrocone do jednej litery ;-))
Poczatek ukladu wspolrzednych R,f umiescimy w poczatku ukladu XY,
a f bedziemy liczyc od dodatniej polosi Y+ ku dodatniej polosi X+.
Dlaczego tak? Poniewaz tak wlasnie biegnie punkt po asteroidzie, gdy
t zmienia sie od zera do 2 pi. Gdyby przyjac tradycyjnie kat od
polosi X+ przez Y+, to f biegloby przeciwnie do t, i w efekcie
scalkowane pole figury byloby ujemne.
W zasadzie to nie ma istotnego znaczenia. Roznica jest tylko taka, jak
przy spojrzeniu z przeciwnej strony kartki: odwracaja sie znaki pewnych
miar, ale wzajemne stosunki geometryczne pozostaja przeciez bez zmiany.

Majac zdefiniowany uklad biegunowy mozemy przeliczyc wspolrzedne:
    R = (x^2 + y^2)^1/2 = a (sin^6(t) + cos^6(t))^1/2   [2]
    tg(f) = x / y = tg^3(t)                             [3]

Kiedy parametr t zmienia sie o rozniczke dt, promien wodzacy punktu
na krzywej zakresla pewien sektor. Pole tego sektora jest rozniczka
szukanego pola figury ograniczonej krzywa [1]. Wolno je przyblizyc
trojkatem rownoramiennym o kacie wierzcholkowym rownym rozniczce df
i wysokosci R. Faktyczna nierownosc ramion sektora, zwiazana
z przyrostem R o dR, jest bez znaczenia. Tak samo jak w przedstawieniu
calki S y(x) dx przez sume prostokatow o wysokosci y i szerokosci dx
bez znaczenia jest trojkacik wystajacy o dy ponad krzywa y(x).
W obu przypadkach, gdy dx i df zbiegaja sie do zera, suma pol tych
obcietych trojkacikow takze maleje do zera.

Tak wiec rozniczka pola figury wynosi:
    dP = 1/2 * (wys.sektora) * (podstawa sektora)
    dP = 1/2 * R * (R * df) = 1/2 R^2 df
    dP = 1/2 a^2 (sin^6(t) + cos^6(t)) df               [4]

Teraz trzeba wyznaczyc rozniczke kata df. Rozniczkujemy stronami [3]:
    d tg(f) = d tg^3(t)
    1/cos^2(f) df = 3 tg^2(t)/cos^2(t) dt
    1/cos^2(f) df = 3 sin^2(t)/cos^4(t) dt
Mnozymy obie strony przez cos^2(f):
    df = 3 sin^2(t) cos^2(f) / cos^4(t) dt              [5]

Bierzemy teraz tozsamosc:
    cos^2(f) = 1 / (1 + tg^2(f))
i podstawiamy do niej tg(f) z rownania [3]:
    cos^2(f) = 1 / (1 + tg^6(t))
Rozwijamy tangens do ilorazu sin/cos i redukujemy pietra ulamka:
    cos^2(f) = cos^6(t) / (sin^6(t) + cos^6(t))         [6]

Podstawiamy [6] do [5] i skracamy ulamek o cos^4(t):
    df = 3 sin^2(t) cos^2(t) / (sin^6(t) + cos^6(t)) dt

Korzystajac z tozsamosci:
    sin(2t) = 2 sin(t) cos(t)
zwijamy wyrazenie w liczniku:
    df = 3/4 sin^2(2t) / (sin^6(t) + cos^6(t)) dt       [7]

Podstawiamy [7] do [4]:
    dP = 3/8 a^2 sin^2(2t) dt

Przywolujemy na pomoc kolejna dobrze znana tozsamosc:
    sin^2(alfa) = (1 + cos(2 alfa)) / 2
i dostajemy:
    dP = 3/16 a^2 (1 + cos(4t)) dt

Nadszedl czas na krok koncowy. Mamy dP wyrazone przez t i dt,
mozemy wiec scalkowac dP w zadanej dziedzinie t:
    P = S[t=0; 2 pi] dP
    P = S[0; 2 pi] 3/16 a^2 (1 + cos(4t)) dt

Wylaczamy stale przed calke:
    P = 3/16 a^2 S[0; 2 pi] (1 + cos(4t)) dt

Funkcja pierwotna funkcji podcalkowej jest:
    F(t) = t + sin(4t)/4 + C
wiec
    P = 3/16 a^2 (F(2 pi) - F(0))
    P = 3/16 a^2 ((2 pi + 0) - (0 + 0))

Ostatecznie:
    P = 3/8 pi a^2

Proste, nie? Kiedy calka ma w miare prosta interpretacje geometryczna
warto przez chwile "wczuc sie" w te geometrie, poszukac symetrii,
proporcji itp. To bardzo ulatwia znalezienie odpowiednich podstawien.
Kosztem paru(...nastu) przeksztalcen otrzymujemy funkcje, ktora
w zasadzie calkuje sie w pamieci :-)))

Niestety, jest jeden haczyk. To rozwiazanie jest niepoprawne!
W rownaniu [3] po obu stronach wystepuje funkcja tangens, w pewnych
punktach nieokreslona. Skutkiem tego dalej, we wzorze [5] pojawia sie
cosinus w mianowniku, a wyprowadzajac [7] skracamy ulamek przez
tenze cosinus - co w tych samych punktach daje dzielenia przez zero.

Uratowac wywod mozna na dwa sposoby: analitycznie albo inteligentnie.
Analitycznie trzeba by policzyc granice odpowiednich ilorazow
i pokazac, ze interesujace nas stosunki pozostaja zachowane pomimo
ze wartosci rozbiegaja sie do nieskonczonosci.

Inteligentnie nalezy skorzystac z okresowosci i symetrii funkcji
trygonometrycznych.
To znowu mozna na dwa sposoby: na wprost albo trickiem.

Metoda na wprost polega na wykazaniu, ze kazdy kolejny przedzial
    [n * pi/4, (n+1) * pi/4],     n = 0,1,...,7
wartosci t odpowiada takiemuz przedzialowi wartosci f, i ze ksztalt
kazdej takiej 1/8 asteroidy jest taki sam.
Stad takie same sa ich pola, wiec wystarczy scalkowac dP w jednym
takim przedziale i pomnozyc wynik przez osiem. Bierzemy pierwszy
przedzial, od 0 do pi/4 - w nim cos(t) sie nie zeruje i tangens
jest skonczony, i muzyka gra.
Wynik:

    P = 8 * 3/16 a^2 S[0;pi/4] (1 + cos(4t)) dt
    P = 8 * 3/16 a^2 (F(pi/4) - F(0))
    P = 8 * 3/16 a^2 ((pi/4 + sin(4 * pi/4)/4) - (0 + 0))
    P = 8 * 3/16 a^2 pi/4
    P = 3/8 a^2 pi

- zgadze sie.

A trick wyglada tak: odwracamy [3] stronami do postaci:
    ctg(f) = y/x = ctg^3(t)
i krytyczne przejscie wykonujemy raz na tangensach i ze skracaniem
cosinusa, a raz na cotangensach ze skracaniem sinusa. Obiema drogami
uzyskuje sie ten sam wynik (wzor [7]), ktory na mocy jednego
wyprowadzenia jest sluszny dla calej asteroidy z wyjatkiem byc moze
parzystych kolcow (x=0, cos(t)=0, tg(t)=+/-inf), a na mocy drugiego
- wszedzie z wyjatkiem nieparzystych (y=0, sin(t)=0, ctg(t)=+/-inf).
W sumie - jest dobry wszedzie.

Koniec? Niestety, nie. Przeciwko wyprowadzeniu wzoru [7] mozna znalezc
jeszcze jeden argument, takze zwiazany z [3].
Otoz w podanej dziedzinie t mieszcza sie dwa okresy funkcji tg(t).
Ten sam tangens moze miec parametr rozny o pi, bo oczywiscie
    x/y = (-x)/(-y)

A wiec calkujac po t wcale nie wiemy, czy przejscia do dziedziny f

Oczywiscie ze jest dobrze, to widac na oko z rysunku, ale ocena
"na oko" w matematyce, to...
Albo cos wynika z aksjomatow (daje sie udowodnic), albo jest
nieprawda. A odpowiedniosci dziedziny f i t nie udowodnilismy.

Z takiego zarzutu tez mozna sie wybronic, ale to juz trudniej.
Trick z cotangensem nic nam tutaj nie pomoze.
Pozostaje uzyc metody przedstawionej wczesniej: oprzec sie na
okresowosci i parzystosci sinusa i cosinusa, udowodnic symetrie
figury i scalkowac jej polowke po czym podwoic wynik.
Albo i nie: gdy juz symetria jest udowodniona, to obojetne jest,
czy calka nam sie liczy po calej krzywej (po obu takich samych
polowkach), czy tez dwukrotnie po jednej polowce - wynik jest
ten sam.
Tak czy owak, trzeba te symetrie wykazac.

Albo... moze by sobie rozrysowac, jak przy zmianie t o dt przemieszcza
sie punkt T = [ x(t), y(t) ] na krzywej. Zaznaczamy promien wodzacy
R-oraz jego przyrost dR-(smieszne sa te strzalki, ale nie wiem jak
inaczej oznaczyc wektor w ascii). Wektory te maja skladowe:
    R  = [  x,  y ]
    dR = [ dx, dy ]
czyli
    R  = [ a sin^3(t),             a cos^3(t)            ]
    dR = [ 3a sin^2(t) cos(t) dt, -3a cos^2(t) sin(t) dt ]

Z rysunku wyprowadzimy zaleznosc na rozniczke kata df:
    df = sin(e) * |dR| / |R|                            [1']

gdzie e oznacza kat pomiedzy wektorami. Wartosc sin(e) wyliczymy ze
skladowych obu wekorow. Dla niezerowych wektorow A=[Xa,Ya] B=[Xb,Yb]
sinus kata pomiedzy A i B wynosi:
    sin( k(A,B) ) = (Xb Ya - Yb Xa) / (|A| |B|)

Latwo to udowodnic, jesli wyjdzie sie od stwierdzenia, ze kat pomiedzy
A i B jest roznica katow pomiedzy osia Y i kazdym z nich, a nastepnie
podstawi Xb/|B|, Ya/|A|,... za odpowiednie sinusy i cosinusy we
wzorze na sinus roznicy katow.
A zatem:
    sin(e) = (dx y - dy x) / (|R| |dR|)                 [2']

Dalej podstawiamy te rownosc do [1']
    df = (dx y - dy x) / (|R| |dR|) * |dR| / |R|        [3']
    df = (dx y - dy x) / |R|^2                          [4']

podstawiamy skladowe wektorow w liczniku (mianownik pozniej):
    df = (3 a^2 sin^2(t) cos^4(t) dt +
          3 a^2 cos^2(t) sin^4(t) dt ) / |R|^2

wylaczamy wspolne czynniki:
    df = 3a^2 sin^2(t)cos^2(t) (cos^2(t) + sin^2(t)) / |R|^2

redukujemy jedynke trygonometryczna:
    df = 3a^2 sin^2(t) cos^2(t) / |R|^2

zwijamy licznik a rozwijamy mianownik:
    df = 3/4 a^2 sin^2(2t) / (x^2 + y^2) dt

podstawiamy brakujace skladowe w mianowniku:
    df = 3/4 a^2 sin^2(2t) / (a^2 sin^6(t) + a^2 cos^6(t)) dt

i po skroceniu a^2 stwierdzamy, ze mamy rownanie [7]:
    df = 3/4 sin^2(2t) / (sin^6(t) + cos^6(t)) dt

Na tej sciezce tez mamy zerowanie mianownika: na wszystkich ostrzach
asteroidy dR-jest wektorem zerowym. Arytmetycznie daje to przy
przejsciu od [3'] do [4'] skrocenie ulamka przez zero.
Jednak tym razem zbywamy zarzut lekkim wzruszeniem ramion:
kiedy dR-jest zerowe, to:
    R-+ dR-= R-

a wiec natychmiast:
    df=0                                                [8']
oraz:
    dP=0.

To, ze sin(e) ze wzoru [2'] jest nieoznaczony nie wnosi zadnego bledu
do obliczenia df. Nieciaglosc dotyczy bowiem wartosci kata e, nie zas
sin(e). Na ostrzu e zmienia wartosc z 0 na pi, ale sin(e) przechodzi
z 0 na 0; nieciaglosc ma wiec taki sam charakter, jak dla funkcji
f(x)=x/x w punkcie x=0. Mozna ja usunac uznajac, ze sin(e) wynosi 0.
Cala reszta wyprowadzenia pozostaje wtedy poprawna.
Albo tez mozemy zastrzec, ze wyprowadzenie nie obowiazuje dla
    t_n = n * pi/2,      n = 0, 1, 2, 3, 4
po czym wzor [7] z dziurami w punktach t_n uzupelnic przez [8']:
    df_(t=tn) = 0
co zamyka problem.

No dobra, to tyle by bylo tej zabawy.
W zadaniu zapewne jednak nie chodzi o ...

więcej »

  Pytanie praktyczne- absolutna ciągłość funkcji


|

| Nie wiem o co Panu chodzi więc pytam.

| ach,,, tym pytaniem wykraczasz Pan poza matematykę teoretyczną,
| obnażając
| bezradność statyki przy opisie dynamiki. Sygnalizowałem to prezentując
| funkcję sinus.
| Zadanie.
| opisz zdarzenie: odcinek jednostkowy (promień) którego początek znajduje
| się w początku układu współrzędnych -- wykonał 1, pełny obrót na
| płaszczyźnie, 2 pełne obroty, n pełnych obrotów. Ile wynosi sinus
| i jaką drogę zakreślił ruchomy koniec odcinka?

| Wartość sinusa dla n obrotów jest oczywista zależna od tego względem
| czego
| (zazwyczaj której osi) chcemy znać jego wartość.
| Możemy ją wyliczyć z trójkąta który stworzymy z domknięcia odcinka z
| wybraną
| osią.
| Wartość sinusa nie jest zależna od długości promienia i po n obrotach
| będzie
| taka sama jak na początku przed startem.
| Parametrem sinus są stopnie obrotu odcinka względem czego chcemy znac
| wartość sinus.
| Jeśli przyjmiemy że chcemy znać warość sinusa wzgledem pozycji
| początkowej
| odcinka to oczywiste jest że po n obrotach sinus będzie =0.

| Drogę przebytą przez odcinek określi n*obwód okręgu zatoczonego przez ten
| odcinek  S=n*2Pi*r.

Dokładnie. Dlatego mówi się, że sin(n360°  + alfa) = sin(alfa)
To uproszczenie gubiące informację o n.


Bo to uproszczenie dotyczy wartości tylko :
"Wzory redukcyjne pozwalają sprowadzić obliczanie wartości funkcji
trygonometrycznych
dowolnego kąta skierowanego do wartości dla kąta ostrego."

To nie ma nic wspólnego z drogą przebytą jak ktoś wie że obrót był n*360st
to przy liczeniu drogi
 przebytej przez punkt powinien uwzględnić n,
 przy liczeniu wartości sinusa nie musi.

Licząc sinusa chcemy znać tylko wartość a n*360st jest argumentem
wejściowym,który ginie jedynie po włożeniu w sin(),
ale poza obliczaniem wartości dalej jesteśmy świadomi że braliśmy n*360st.

| Fizycy wprowadzili pojęcie 'harmonika' gdzie używa się prędkości kątowej
| omega, a osie opisuje się odpowiednio x-t (czas), y-A (amplituda)
| w liczbach mianowanych.
| A co na to Matematyka teoretyczna? Ano jak zawsze "spieprzyła"
| matematykę.
| Dlaczego?
| Ano dlatego, że od paru tysięcy lat obowiązuje "aksjomat", że przez ten
| sam punkt na płaszczyźnie nie można przeprowadzić więcej niż jednej
| prostej równoległej do danej prostej. I "dupcia blada". Trygonometria
| oparta
| na takim założeniu nie może "widzieć", że punkt (0,1) nie jest tym samym
| punktem co punkt (0,1) bowiem po wykonaniu pełnego obrotu współrzędna
| czasowa zmieniła się i choć punkt zajmuje to samo położenie o
| współrzędnych (0,1) to różni się trzecią współrzędną t, nazwaną przez
| Minkowskiego osią urojoną.
| (0,1,0) =/= (0,1,1).

| Nie ma czasem w czasoprzestrzenie Minkowskiego jakichś problemów z
| dokładnością obliczeń
| kiedy obiekt przybiera większe prędkości?

hehe
Problemy zawsze sobie można stworzyć gdy rzeczywistość nie pasuje do
teorii.

| {mniej więcej o tym chciał pisać Kolega Logiczniak, który podobnie jak
| CKP
| czuje logikę, ale tak samo jak Cyprian, Korneliusz, Peter nie umie
| przekazać
| głoszonych prawd w sposób zrozumiały dla ogółu}.
| Czegu tu więc brakuje w tej układance?
| Ano brakuje przede wszystkim funkcji 'reals' wyrażającej proporcję
| długości łuku do długości promienia wodzącego.
| ??
| Ta funkcja nie jest jeszcze w matematyce znana.
| res(Pi) = Pi
| res(7*Pi) = 7*Pi
| res(1260°) = 7*Pi
| Ta funkcja jest nadwymiarowa dla okrojonych do płaszczyzny zależności
| proporcji boków w trójkącie będących rzutem 3D na 2D gubiących
| upływ CZASU.

| ?? dziwnie Pan pisze ...chyba zaczynam rozumieć Pańską manipulację ;).

Staram się jak mogę. ;)

| Jak Pan chce mieszać czas w idee nieskończonej ilości naturalnych pól to
| równie dobrze można przyjąć ,
| że czas przejmuje oo jako wyrażenie nieokreślonej przyszłości.

Można też przyjąć tak jak to zrobił Newton, że zatrzymując CZAS w chwili
czasowej dt a więc w punkcie - punkt ten posiada cechy zwane potencjałami.
Mnie na przykład nie dziwi 'prędkość w punkcie' dl/dt.
A Pana nie zastanawia ile chwil czasowych dt jest w 1-nej sekundzie??


Kiedyś się zastanawiałem i dałem sobie spokój,bo brakowało czasu ;).
Ja myśle że tyle jest chwil czasowych dt ile nam w danym momencie potrzeba
,ale czy potrzeba nieskończenie wiele?
A jak Pan myśli?

Jak może coś mieć prędkość stojąc w punkcie? :-)


Tak jak wachadło zegara ma prędkość chociaż na zdjęciu tego nie widać.

| Wtedy mamy naturę...a maszyna ośiągnie wynik w nieokreślonej przyszłości.

| Swoją drogą co jest bardziej bliższe naturze liczby naturalne czy
| rzeczywiste?
| Nazwy zaciemniają niesamowicie.
| W pierwszych mamy 0,1,2...
| W drugich mamy 0,1,2...,sqrt(2),e,Pi...,1/2...1/n
| (n-oo),ujemne(0,1,2...,sqrt(2),e,Pi...,1/2...1/n (n-oo))
| czyli dochodzą nierealne miana "/","-" no i niewymierności(czyli jednak
| liczby mianowane są w matematyce)

| Liczby rzeczywiste he he czy one wogóle są liczbami czy wyrażeniami liczb
| "prawdziwych" mianowanych ;-)

Bliższe natury są liczby naturalne, a bliższe rzeczywistości są liczby
rzeczywiste.
Liczby niewymierne są bliższe niewiedzy, a liczby kardynalne to religia.
:-)


A czym się różni natura od rzeczywistości?
Nie uważa Pan że właśnie przez te liczby rzeczywiste wychodzą dziwactwa?
To jak okrąg jednostkowy 1 toczy się po prostej stykając się punktem
przetoczy się jakimś punktem niewymiernym po prostej?
A co jak okrąg będzie o promieniu n*1 to co na liczbach niewymiernych
podskoczy?
Jak się ma stosunek obwodów i pól okręgów ze wspólnym środkiem o rosnącym
promieniu o dr,gdzie pojawia się coraz więcej niewymierności?
I jakim cudem obówd zawsze będzie 2Pir pomino tego że w pewnym obwodzie mogą
być tylko 2 liczby niewymierne znane,które dodane do siebie
nie dadzą wielokrotności Pi.
Może jednak jest tak jak twierdze że "gęstość" niewymiernych = "gęstości"
wymiernych ,Aleph1=2Aleph0,
bo ja innej możliwości nie widze na ciągłość R i prawdziwość wzorów na obwód
i pole koła.

To ile tych liczb niewymiernych jest w przedziale <0,Pi,<0,2Pi,...<0,nPi
gdy n-oo?
Liczby rzeczywiste są ciągłe...a ich skład wchodzą liczby niewymierne ,które
z tego wynika też muszą być ciągłe ...a gdzie dowód na to?

| Wracając do tematu...

| Pan zakłada że  (n=oo)*(+0=dt) w tym wypadku da tzw "chwilę 0",a x
| osiągnie
| oo pole w czasie t="chwila 0"?
| Tu można by się sprzeczać ..skoro oo jest w tym wypadku osiągalna w
| chwili 0
| to wszystkie +0 to nierealne-urojone-nieistniejące składniki ;).

Właśnie. Gdy zrobimy fotografię a jeszcze lepiej rysunek wahadła
w jakimś położeniu - to z tego grafu nie będzie widać w którą stronę
i z jaką prędkością poruszało się wahadło.
To o czym piszę to różnica pomiędzy fotką a stop-klatką.
Rysynek niby ten sam ale punkty mają dodatkowy opis stanu punktu.
To trzecia współrzędna dla dwóch współrzędnych x i y.
Współrzędna dynamiczna. :-)


Wszystko się rusza wzgledem czegoś ,ale względem czegoś może też stać.
Czy to oznacza że mamy odrzucić statykę?

| . . .
| Wracając do wyidealizowanej maszyny Turinga wykonującej obliczenia
| w trybie natychmiastowym. Taki tryb nie istnieje. Sekwencja wymaga
| poprzednika i następnika. Są to nieskończenie któtkie chwile czasowe
| ale nie jednoczesne - a więc różniczki Newtona, wynikające z
| nieskończonego
| podziału skończonego przedziału. Łączna ilość po zsumowaniu wszystkich
| tych chwil czasowych jest całką Lebesgue o której wspomniał Kolega
| puciek.
| . . .
| Uogólniając:
| Zwykła matematyka JEST JEDNA. Chaos i niekonsekwencja powstaje
| gdy liczbom odbiera się ich desygnaty i tworzy założenia bez
| uzasadnienia
| prawdziwości. Teoretyczna Matematyka przez wielkie "M" - poprzez fałsz
| samozaprzeczeń i paradoksów, nie tylko nie pomaga ale przeszkadza
| w opisie Świata jaki JEST.
| W moim odczuciu te teorie tworzone są po to aby 'człowiek nie odnalazł
| drzewa żywota, i nie jadł, i nie żył na wieki'. Normalnie czuję smród
| siarki.
| Nie żartuję.

|                                    *    *    *
| A więc odejmujemy "1" logiczne od pustego wiersza Turinga i dostajemy
| stan samych jedynek, czyli wiersz PEŁNY i niedobór.
| Dodajemy "1" logiczne do wiersza PEŁNEGO i uzyskujemy zbiór pusty
| i nadmiar.
| Tak? :-)
| Czy powyższe twierdzenia wymagają dowodu? :)
| Edward Robak* z Nowej Huty

| ...no niby tak ale co się stanie z wcześniejszym nie uzupełnionym
| zapożyczeniem?
| Dla skończoności zapożyczenie się ulotni a dla nieskończonośći...nie
| wiadomo
| w końcu prawdziwa oo nie ma końca.
| Po raz kolejny załóżmy jednak tak jak Pan mówi ...z ciekawości ;).

W tych okolicznościach pozwolę sobie zaniechać rozważania o odejmowaniu
"1" logiczne od pustej taśmy Turinga i dodawania "1" do pełnej taśmy
bo nie wiemy, czy ilość pól na tej taśmie jest prawdziwą nieskończonością,
a zadam Panu pytanie na temat KOŁA o promieniu równym 1 na płaszczyźnie
Euklidesa.
Czy prawdą jest, że ilość punktów tworzących to koło jest nieskończona
a


...

więcej »

  [F.liniowa] Układy równań i nierówności
UKŁADY RÓWNAŃ

W przypadku funkcji liniowej rozwiązanie układu równań polega na geometrycznej interpretacji układu, a nie na jego algebraicznym rozwiązaniu.

Każdy układ równań jest:
    lukładem oznaczonym (gdy rozwiązaniem jest jedna para liczb. Proste opisane równaniami tego układu przecinają się w jednym punkcie, którego współrzędne są rozwiązaniem) llukładem sprzecznym (gdy układ nie ma rozwiązań. Proste opisane równaniami tego układu to dwie różne proste równoległe) llukładem nieoznaczonym (gdy układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Proste opisane równaniami tego układu pokrywają się).l


Przykład 1:
Rozwiąż graficznie układ równań



By móc narysować wykres funkcji musimy mieć równania w postaci kierunkowej:
- -2)' alt='2y = -3x + 4/ -2)' align=absmiddle>


-




Rysujemy wykresy funkcji:


Współrzędne punktu przecięcia są rozwiązaniem:


Przykład 2:
Dla jakich wartości parametru k układ równań:
    ljest oznaczony lljest nieoznaczony lljest sprzecznyl


Najpierw przechodzimy do postaci kierunkowej
-







a) oznaczony jest wówczas, gdy współczynniki kierunkowe są są różne



-


odpowiedź: k ≠ -2

b) nieoznaczony jest, gdy współczynniki kierunkowe oraz stałe b są równe

odpowiedź: a więc nigdy, gdyż stała , a parametr k nie ma wpływu, by to zmienić.

c) sprzeczny będzie, kiedy współczynniki kierunkowe będą takie same, a stałe b różne.

Wykorzystamy podpunkt a, w którym to już liczyliśmy.
-

odpowiedź: dla k=2

Przykład 3:
a) Podaj równania prostych AC, BD. Wyznacz ich punkt przecięcia P.
b) Oblicz pole trójkąta ABP.
c) Podaj równanie prostej pionowej dzielącej równoległobok na dwie części o równych polach.


a) Wyznaczamy współrzędne punktów:
A=(-3;-1)
B=(3;-1)
C=(7;7)
D=(1;7)


Podstawiamy współrzędne do równania kierunkowego i rozwiązujemy układ równań:












-1)' alt='8=-2a / -1)' align=absmiddle>






Licząc współrzędne punktu przecięcia skorzystamy ze wzoru na środek danego odcinka AB:

Podstawiamy współrzędne odcinka AC lub BD.


b)

Jako, że żadna z prostych nie spełnia warunku prostopadłości wysokość obliczymy ze wzoru na od prostej.


prosta l wyrażona jest równaniem . W naszym przypadku będzie to (Równanie wydaje się być niepełne. Jest to spowodowane tym, że A=0 oraz B=1)





c) Prosta pionowa musi przechodzić przez punkt przecięcia przekątnych równoległoboku.

P=(2;3)
x=2

UKŁADY NIERÓWNOŚCI

Rozwiązanie układu nierówności polega na wyznaczeniu zbioru wartości, dla których warunki układu sa spełnione.

Zapamiętaj:
    lpółpłaszczyznę zawierającą swoją krawędź nazywamy półpłaszczyzną domkniętą (linia ciągła) llpółpłaszczyznę, do której nie należy żaden punkt z jej krawędzi nazywamy półpłaszczyzną otwartą (linia przerywana)l


Przykładowe nierówności:


Przykład 1:
Przedstaw graficznie ukłąd nierówności. Czy punkt (-4;3) należy do zaznaczonego obszaru?


Rysujemy proste opisane równaniem y=3 oraz y=-x-1.


Zaznaczamy odpowiednio nierówności


Punkt (-4;3) nie należy do zaznaczonego obszaru, gdyż w nierówności y
 



wzór na pole koła
Wzór na pole kuli
wzór na pole kwadratu
wzoru na pole powierzchni
wzor na pole trojkarak rownoramiennego
wzor umowy kupno sprzedaz samochodu
wzór wniosku o wypowiedzenie
wzór wniosku o zwrot części VAT
wzór na obliczenie pola
wzór podania o przyjęcie do pracy
wzorów umów aneksy
wzoru podania wynajmu
wzór wniosku o zwolnienie z opłat
wzór układania kostki
wzor urlop macierzynski podanie
  • here we grow preschool
  • luz nakretek na srubie pociagowej
  • darmowe programy do nauki wrozenie
  • opony do seata
  • mikser;promix22u;pomoc;przy;konfiguracji